No le tenga miedo al Cálculo Integral; Esto es muy fácil, hágalo por gusto y con gusto.
El
cálculo integral, encuadrado en
el cálculo infinitesimal,
es una rama de las matemáticas en la cual
se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación, es
muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza
principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de
revolución.
Fue
usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el
que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema
fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la
integración son procesos inversos.
CÁLCULO INTEGRAL FÁCIL CON
OBIL
La integral definida
Desde su
origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los
métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La
técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII,
paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.
Concepto de integral definida
La integral definida es un concepto
utilizado para determinar el
valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a,
b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es
mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la
porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones
x = a y
x =
b.
La integral definida de la función entre
los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Propiedades
de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes
propiedades:
·
Toda integral extendida a un intervalo
de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
· Cuando la función f (x) es mayor
que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su
integral es negativa.
· La integral de una suma de
funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
· La integral del producto de una
constante por una función es igual a la constante por la integral de la función
(es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
· Al permutar los límites de una
integral, ésta cambia de signo.
·
· Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
· Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
·
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican
dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) , g (x), se
verifica que:
Ilustración
gráfica del concepto de integral definida.
Función
integral
Considerando
una función f continua en [a, b] y un valor en x
[a, b], es posible definir una función
matemática de la forma:
donde, para no inducir a confusión, se ha
modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función,
simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o,
también, función área pues cuando f
es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.
Interpretación
geométrica de la función integral o función área.
Teorema
fundamental del cálculo integral
La relación
entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio
del denominado teorema fundamental del cálculo integral,
que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x)
cumple necesariamente que:
A partir del
teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para
calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
·
Se busca primero una función F (x) que
verifique que
F’ (x) = f (x).
·
Se calcula el valor de esta función en
los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
·
El valor de la integral definida entre
estos dos puntos vendrá entonces dado por:
REITERANDO CON LOS
CONOCIMIENTOS DE LA
Integral definida
Dada una función f(x) y un
intervalo [a,b], la integral definida es igual al área
limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales
x = a y x = b.
∫ es
el signo de integración.
a límite
inferior de la integración.
b límite
superior de la integración.
f(x) es
el integrando o
función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la
variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral
definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
A la función integral,
F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo
[a, b].
Área:
Los antiguos
griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo
(producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un
triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los
catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de
cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual
a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman
dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer
en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las
áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir
áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas.
Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro
método, que es el que vamos a estudiar a continuación.
PERSPECTIVA GENERAL DE LA INTEGRACIÓN
La integración es el
procedimiento por el cual se puede determinar el área limitada por la curva de ecuación y = f(x) el eje X y las rectas x = a y x = b.
figura 1
Para
encontrar dicha área inscribimos bajo la curva dada un número determinado de
rectángulos, la suma del área de cada rectángulo es una aproximación del área
bajo la curva, y conforme el número de rectángulos tiende a infinito nos
aproximamos más al área exacta de la región.
Se volvería muy complicado inscribir demasiados rectángulos y calcular
el área de cada uno y después sumarla, por ello surge el procedimiento de la
integral conforme al siguiente límite:
Lo cual podemos
expresar de la forma:
a la cual llamamos
integral de f de a a b , ésta representa un número y ése
número es el área de la región acotada entre la curva y las rectas mencionadas
con anterioridad.
Los métodos de
integración son procedimientos que nos permiten calcular este valor de manera
más sencilla. Cuando este valor existe para la función, se dice que la función
es integrable, de lo contrario es una función no integrable.
Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una curva, el eje x y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos términos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.
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FUNDAMENTOS DEL CALCULO
INTEGRAL
Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una curva, el eje x y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos términos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.
PS. Propiedades de la sumatoria:
Área:
Los antiguos
griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo
(producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un
triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los
catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de
cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual
a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman
dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en
triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas
de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo
es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el
área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es
el que vamos a estudiar a continuación.
